www.jemagalles.nl

Beroemde Nederlanders

^

Bertus Brouwer. Waar is slechts wat waar is.

Wiskundigen genieten zelden algemene bekendheid. Prestaties op het gebied van de kunst of op natuurwetenschappelijk gebied spreken meer tot de verbeelding. Over wiskunde bestaan twee misvattingen, een onder deskundigen en een onder leken.

De wiskundigen zelf beweren maar al te makkelijk dat 'het voor iedereen te volgen is'. Met een beroep op het logische verstand gaan ze voorbij aan de voorkennis en ingesleten gewoontes die ze zelf spelenderwijs kunnen hanteren, maar die voor een beginner in het vak nauwgezette oefening en concentratie vragen. Wie dat als leraar vergeet heeft het bij de leerlingen snel verbruid.

Buitenstaanders gaan er ten onrechte van uit dat het bij de wiskunde een kwestie is van 'je snapt het, of je snapt het niet'. Alsof zij 'die het snappen' het ook noodzakelijkerwijs altijd met elkaar eens zouden zijn. Meningsverschil lijkt onmogelijk. Een (wiskundige) bewering is tenslotte waar òf niet waar. Als iets immers niet 'niet waar' is, dan moet het wel waar zijn, nietwaar?

Juist in de wiskunde is er een verbeten strijd gevoerd over het principe van de uitgesloten derde: iets is waar of niet waar, een derde mogelijkheid is er niet.

Veel informatie is ontleend aan: Droeve snaar, vriend van mij, brieven, C.S. Adama van Scheltema en L.E.J. Brouwer, Amsterdam 1984 en diverse publicaties van D. van Dalen.

Jeugd

Dat het voor wiskundigen ook niet altijd makkelijk te volgen is ondervonden wij aan den lijve. Als eerstejaars studenten werden we op de werkcolleges volgepropt met bewijzen en pagina's lange afleidingen. Alles volgens de strakke regels van de logica. Iemand verzuchtte: 'Je zou toch eigenlijk zelf moeten kunnen bepalen of iets klopt of niet. Dan is al dat puzzelen met logische symbolen niet nodig. Een soort intuïtieve wiskunde; het logisch geconstrueerde bewijs is dan een illustratie achteraf en in feite van minder belang'. We waren direct enthousiast voor deze originele benadering. Het leek er een stuk gemakkelijker door te worden. Later leerden we dat onze medestudent met zijn laatste zin vrij nauwkeurig een van de grondgedachten van Bertus Brouwer uitgesproken had: de logica is slechts een van de talen om wiskunde in uit te drukken. Kennelijk was de sfeer van deze Amsterdamse hoogleraar nog aanwezig in de collegezalen. Bertus Brouwer, die met iedereen ruzie maakte, die er niet voor terugschrok om de grootste wiskundigen hun gelijk te betwisten. 'De tweede getalklasse van Cantor bestaat niet' schreef hij nuchter als stelling bij zijn proefschrift. Bertus Brouwer, de wiskundige die formules vermeed, het intellect verafschuwde, de logica wantrouwde, maar de wiskunde het denken zelf weer teruggaf.

Luitzen Egbertus Jan Brouwer werd op 27 februari 1881 in Overschie geboren. Zijn vader Egbertus Luitzens Brouwer was een brave onderwijzer die de lange weg naar een betere positie stap voor stap aflegde. Dat bracht nogal wat verhuizingen met zich mee. Eerst naar Medemblik waar zijn twee broers geboren werden, later naar Haarlem. Zijn moeder Hendrika Poutsma kwam uit een intellectuele familie. Oom Poutsma kreeg voor zijn verdienste als anglist een eredoctoraat. Bertus zelf was een gevoelig, slim ventje. In korte tijd doorliep hij de lagere school en de HBS. Daarna zat hij zich nog twee jaar te vervelen om zijn diploma gymnasium alfa en beta te halen voordat hij -zestien jaar oud- bij de poort van de universiteit aanklopte.

Met een ruime toelage van het Sint-Jobsleen uit Leeuwarden liet hij zich inschrijven bij de faculteit voor wis- en natuurkunde in Amsterdam. In zijn Haarlemse tijd had hij op lange fiets- en wandeltochten genoten van de ongerepte natuur in de duinen. De studie van de wiskunde was aanvankelijk daarmee in schril contrast en bekoorde hem niet. Het was voor hem een koude en onaandoenlijke wetenschap die een levenloos kabinet van waarheden aanlegde.

Intellectueel gezien was hij als geen ander tegen de studie opgewassen. Emotioneel raakte hij echter in een diepe put. 'Ik vraag niets meer dan somber in een hoekje te verkwijnen. Niettemin doe ik in doffe constantheid al mijn plichten tegenover mijn lichaam; misschien komt het nog weer terecht, en treed ik met glanzende blik in de wereld terug; of het is volbracht en ook daar ben ik mee vereend.' Zo'n twee jaar lang was hij onder behandeling van zenuwartsen. Tot werken kwam hij nauwelijks. Zijn hartsvriend, de dichter Carel Adama van Scheltema schreef hem bemoedigende brieven: 'Een van de dingen waaraan je 't armst bent geweest is liefde en hartelijkheid van huis en vrienden ... 't is zelfbedrog te menen dat je er geen behoefte aan hebt - als je weer terug bent kom ik je weer opzoeken'.

De vriendschap met Scheltema

De vriendschap tussen Brouwer en Scheltema nam in Brouwers leven een bijzondere plaats in. Bertus ontmoette de wat oudere Scheltema voor het eerst op een bijeenkomst van het dispuut 'Clio'. De twee hadden direct grote bewondering voor elkaar. Scheltema in zijn dagboek: 'Dit is verreweg de grootste mensch die ik tot nu toe ontmoette en ik geloof niet er grotere te zullen ontmoeten.' In hun briefwisseling komen ze allebei als sombere, zoekende mensen naar voren; twee eenzame koningen, ieder in zijn eigen rijk.

Op hemelvaartsdag 1903 constateerden ze in een indringend gesprek dat ze in hun opvattingen niets gemeenschappelijk hadden. Carel Adama van Scheltema de rationalist, socialist en wereldverbeteraar en Bertus Brouwer de teruggetrokken, subjectieve idealist. En dan hun keerzijde: de een dichter, de ander wiskundige; alsof twee mensen het verkeerde pak aangetrokken hadden. Brouwer had zeker belangstelling voor literatuur. Bij gelegenheid schreef hij recensies van Scheltema's werk. De hogere sferen waar Brouwer zich bewoog waren voor Scheltema niet te volgen. 'Het essentieele van onze verhouding was steeds mijn waarlijk onvermoeid pogen om hem tot de materieele wereld te laten naderen.' De grote verschillen stonden een minstens zo grote waardering niet in de weg. Tot aan de dood van Scheltema in 1924 hielden ze contact met elkaar.

Filosofie gevlochten door wiskunde

Voor Brouwers wetenschappelijke loopbaan waren de colleges van Mannoury van groot belang. Deze autodidact met een sprankelende fantasie liet zien dat in de wiskunde wel degelijk plaats was voor schoonheid en speelsheid. Daarnaast moet Brouwers promotor, professor Korteweg genoemd worden. Met veel tact en inlevingsvermogen hanteerde hij het snoeimes bij Brouwers dissertatie 'Over de grondslagen der wiskunde'.

Brouwer had graag veel meer filosofie gevlochten door zijn wiskundige verhandelingen. Korteweg hield hem bij het eigenlijke onderwerp. ' ... waarlijk Brouwer, het gaat niet. Daarin (in de door Brouwer opgestuurde tekst) is een soort pessimistische en mystieke levensbeschouwing ingevlochten die geen wiskunde meer is en ook met de grondslagen der wiskunde niets te maken heeft. Zij moge in uw geest hier en daar met wiskunde zijn samengegroeid; maar dat is dan geheel subjectief. Men kan dáárin geheel van u afwijken en toch uw meningen over de grondslagen van de wiskunde volkomen delen.' Grote delen uit het oorspronkelijke manuscript werden geschrapt. De grondslagen van de wiskunde waren voor Brouwer de getallen. Alle wiskunde was uiteindelijk op de getallen terug te voeren. Tijd bestond op zich. Ruimte was daaruit afgeleid.

De kiem van Brouwers filosofische visie kunnen we lezen in 'Leven, kunst en mystiek', de neerslag van een aantal lezingen voor Delftse studenten gehouden in 1905. Brouwer trok daarin van leer tegen de uitbuiting van de natuur door de techniek en het intellect op een manier die een milieu activist van tegenwoordig niet zou misstaan: 'het verstand ziet nooit de wereld in haar geheel, en de middelen die het dicteert in de richting van het begrensde in 't oog gevatte doel, zullen ... aan het geheel slechts schade doen'. De oorzaak van alle droefenis was in zijn ogen de sprong van het doel naar het middel. Het middel om een doel te bereiken was nooit precies op het doel gericht en zou -nog erger- uiteindelijk een doel op zich worden waartoe weer een ander middel werd gezocht. Zo raakte het streven van de mens steeds verder van zijn doel af. De oplossing was de 'zelfinkeer', het nauwkeurig luisteren naar de eigen intentie, het gelaten volgen van het eigen karma. Merkwaardig waren daarbij zijn opvattingen over de vrouw, die volgens Brouwers slechts geschapen was om haar man te dienen.

Buitengewoon hoogleraar

In 1904 trouwde Brouwer met Lize de Holl, een elf jaar oudere vrouw die uit een eerder huwelijk een dochter meebracht. Met financiële steun van onder andere Scheltema kochten ze een apotheek in Amsterdam aan de Overtoom. Deze zaak zorgde voor de nodige inkomsten. Brouwer deed de administratie. In 1907 stopte zijn toelage en zijn wiskundig werk bracht niet veel geld binnen.

In 1909 werd Brouwer privaatdocent, een onbezoldigde functie aan de universiteit. Het volgen van een wetenschappelijke carrière had Brouwer heel wat hoofdbrekens gekost. Hij wist dat hij een briljant wiskundige kon worden, maar de leerstoelen daarin lagen niet voor het oprapen. Wetenschappelijke medewerkers of assistenten waren er niet bij dat vak. Het was dus alles of niets. Hij ging aan de slag en besloot het gebied van de topologie te ontginnen. Voor deze 'gummimeetkunde' van uitrekken en vervormen ontwikkelde hij baanbrekende methodes.

Een van zijn eerste resultaten was de dekpuntstelling. Populair gezegd: als je een glas melk roert -zonder te spatten- dan zal als de vloeistof weer tot rust is gekomen zich minstens één deeltje weer op dezelfde plaats bevinden. Hij werd dé autoriteit in het nieuwe vakgebied. In 1912 werd hij buitengewoon hoogleraar. Een jaar later volgde hij Korteweg op, die zijn plaats welwillend ter beschikking stelde. Ondanks aanbiedingen uit het buitenland bleef hij aan de Universiteit van Amsterdam verbonden.

Getallen opnieuw bekijken

In 1908 verscheen in het Tijdschrift voor Wijsbegeerte het artikel 'de onbetrouwbaarheid der logische principes'. De redactie had het met grote aarzeling geplaatst. In een tot het uiterste samengebalde taal zette Brouwer zijn bezwaren tegen het gangbare gebruik van de logica uiteen. Zijn samenvatting was kernachtig en onverbiddelijk: 'In wijsheid is geen logica. In wetenschap is logica vaak, maar niet duurzaam doeltreffend. In wiskunde is niet zeker of alle logica geoorloofd is...'.

Met het laatste doelde hij op het principe van de uitgesloten derde. Om dat te begrijpen moeten we een uitstapje maken naar de getaltheorie. Daar worden de getallen bekeken. De gehele getallen en de rationale getallen, dat wil zeggen alle mogelijke uitkomsten van delingen, kortom de breuken. Vervolgens blijken er getallen te bestaan die je niet als een breuk kunt schrijven. Het getal waarvan het kwadraat twee is bijvoorbeeld. Hoe je ook rekent, met nog zoveel cijfers achter de komma, het komt nooit precies uit. Nog vreemder is het getal pi, de verhouding van de middellijn van een cirkel tot de omtrek. Met behulp van achthoeken binnen en buiten een cirkel kun je het ongeveer berekenen 3.1415.... Helemaal precies wordt het nooit. Het zijn getallen die zich aan je greep onttrekken. Toch kun je op een lijn aangeven hoe groot ze zijn. Het zijn reële getallen.

Brouwer maakte nu bijvoorbeeld de uitspraak: 'in het getal pi komen oneindig veel paren gelijke cijfers voor'. Van deze uitspraak kun je niet zeggen dat hij waar is òf niet waar, het is een wiskundig probleem dat geen oplossing bezit. Om het op te kunnen lossen zou je immers het getal pi helemaal moeten kennen en dat is bij een oneindig voortlopende reeks cijfers zonder regelmaat onmogelijk. Daarom was voor Brouwer het gebruik van het principe van de uitgesloten derde niet altijd geoorloofd.

De wiskundige wereld in verwarring

In die tijd was de wiskundige wereld in verwarring. De verzamelingenleer van Georg Cantor had een begrippenkader geschapen dat overal toepasbaar leek. Helaas leidde het tot een aantal vreemde paradoxen. Het fundament was niet solide. De krachtigste poging om die problemen op te lossen was die van het formalisme, onder aanvoering van de Duitse wiskundige Hilbert. Hilbert probeerde door een streng hanteren van de logica de wiskunde een nieuw fundament te geven. Een logicus het principe van de uitgesloten derde ontnemen is zoiets als een bosarbeider zijn moterzaag afpakken: het werk word aanzienlijk zwaarder.

De bewondering van Hilbert voor de geniale Brouwer sloeg om in angst en weerzin. De strijd liep hoog op. Hilbert vreesde dat de revolutionaire Brouwer het wiskundig bouwwerk zou afbreken. Toen hij ernstig ziek werd had hij geen rust voordat hij Brouwer uit de redactie van het gezaghebbende tijdschrift 'Mathematische Annalen' gestoten had. Brouwer was diep gekwetst. De strijd was niet door argumenten maar door een machtswoord beslist. Het was de zoveelste strijd waar hij als de geslagen hond uitkwam. Bij verschillende van zijn meetkundige ontdekkingen eisten anderen de eer op. Voor zijn opvattingen dat wiskunde een creatieve activiteit van de menselijke geest was in plaats van een dor mechanisch spel met logische symbolen vond hij maar weinig medestanders.

Creatieve uitbarstingen en rustige periodes

Brouwer verbleef afwisselend in Blaricum en in Amsterdam. Al in zijn studententijd beschikte hij in Blaricum over een eenvoudig huisje. Hij kon er zijn werk combineren met zijn liefde voor de natuur. Zijn vrouw bleef dan in Amsterdam om voor de apotheek te zorgen. Het verhaal gaat dat ze van tijd tot tijd een pannetje eten met de Gooise tram meegaf, dat Brouwer in Laren ophaalde.

Brouwer was een voorstander van natuurlijk leven en vegetarisme, al was hij daarin niet dogmatisch. Aan vleesetend gezelschap kon hij zich goed aanpassen en vastendagen onderbrak hij wel met het eten van nootjes uit zijn bureaula. Gekleed in wit linnen pak, of in een lange mantel met brede bontkraag was zijn lange magere gestalte een opvallende verschijning. 'Als ik daarentegen Brouwer zie met zijn scherpe trekken en uitgeteerd lijf en slappe huid en dikke aderen dan houd ik mijn hard vast, en wilde dat hij maar vlees wou,...' schreef Frederik van Eeden in zijn dagboek. De lange fietstochten die Brouwer met Van Eeden maakte vormden een aanwijzing dat de vroegere gezondheidsproblemen verdwenen waren.

Creatieve uitbarstingen en rustige periodes wisselden elkaar bij Brouwer af. Zowel in het klein als in het groot. Tijdens het werken had hij vaak een luchtig romannetje bij de hand om af en toe in te lezen. Stromen publikaties werden onderbroken door periodes waarin hij weinig van zich liet horen. In 1953 maakte hij een reis langs Canadese en Amerikaanse universiteiten.

Brouwer was gevreesd om de felheid waarmee hij zijn standpunt naar voren kon brengen, maar hij kon ook uitermate charmant zijn. Hij omringde zich graag met vrouwelijk gezelschap. Zijn interesse in literatuur en muziek bleef. De contacten met vakgenoten namen langzamerhand af. Toen zijn vrouw in 1959 overleed bleef hij achter met hun huisgenote Cor Jongejan. Zij vergezelde hem op reis en fungeerde als Brouwers secretaresse. Op de avond van 2 december 1966 vroeg zij aan hem of hij een sinterklaaspakje weg wilde brengen. Brouwer sloeg een grauwe deken om en stak met het pakje onder de arm de straat over. Hij werd door een auto gegrepen en stierf dezelfde dag.



^

tekst, concept en werkwijze: Luc Ambagts
Beroemde Nederlanders